线性相关性、基、维数

线性无关 Independence

1.

若c1x1+c2x2+……+cnxn=0 仅在 c1=c2=……=cn=0 时才成立，则称向量 x1、x2……xn是线性无关的。

2.

换而言之，若存在非零向量 c，使得Ac=0，则这个矩阵 A 的列向量线性相关。

3.

如果矩阵 A 的列向量为线性无关，则 A 所有的列均为主元列，没有自由列，矩阵的秩为 n。若 A 的列向量为线性相关，则矩阵的秩小于 n，并且存在自由列。

张成空间 Spanning a space

当一个空间是由向量 v1，v2……vk 的所有线性组合组成时，我们称这些向量张成了这个空间。例如矩阵的列向量张成了该矩阵的列空间。
如果向量 v1，v2……vk张成空间 S，则 S 是包含这些向量的最小空间。

基与维数 Basis & Dimension

向量空间的基是具有如下两个性质的一组向量 v1，v2……vd：

• v1，v2……vd 线性无关

• v1，v2……vd张成该向量空间

例：R^3空间

子空间的基 Basis for a subspace

列空间和零空间的基 Basis of a column space and nullspace

讨论列空间：

矩阵 A 的四个列向量张成了矩阵 A 的列空间，其中第 3 列和第 4列与前两列线性相关，而前两个列向量线性无关。因此前两列为主元列。他们组成了列空间 C(A)的一组基。矩阵的秩为 2。

实际上对于任何矩阵 A 均有：

矩阵的秩 r = 矩阵主元列的数目 = 列空间的维数

注意：

矩阵具有秩 rank 而不是维数 dimension，而空间有维数而不是秩。
当知道了列空间的维数，可以从矩阵列向量中随意选取足够数量（维数）的线性无关的向量，它们每一组都可以构成列空间的一组基。

讨论零空间：

本例中矩阵的列向量不是线性无关的，因此其零空间 N(A)不止包含零向量。